La información vs. el número de bins

La semana pasada, un alumno de la maestría de Data Mining de la Universidad de Buenos Aires, me preguntó qué tan estable eran las mediciones de información con respecto al número de bins elegidos. Esta es una respuesta detallada y con un ejemplo realizado en Powerhouse.

La cantidad de información absoluta, medida por su entropía en bits, depende del número de bins (o de la cantidad de categorías en variables categóricas). Por lo tanto este análisis utiliza las medidas de información expresadas en forma relativa.

Tanto el ruido como la información transmitida se calculan como un porcentaje de la información necesaria para reducir completamente la incertidumbre de la variable a predecir. Por lo tanto el ruido y la información transmitida vienen dadas por:

Ruido% = H(Y|X) / H(Y)

 Información transmitida% = T(X:Y)/H(Y)

La variable a predecir Y tiene una entropía dada por su distribución y representa su incertidumbre. Cuando un modelo codifica la información proveniente de un conjunto de variables X y la transmite, la incertidumbre de Y se reduce. Cuanto mayor sea esta reducción, más preciso será el modelo.

Lo que resta de incertidumbre luego de utilizar la información transmitida por el modelo, lleva el nombre de ruido.

La siguiente tabla muestra diferentes medidas de información sobre una misma tabla de datos y utilizando las mismas variables predictoras. Lo que cambia es el número de bins de X y de Y, que varía entre 5 y 200.

Se puede notar que la información transmitida relativa (dada por Tx%) es muy estable en todo el rango de bins. Lo mismo sucede con el Ruido, lo que no debería sorprender ya que es función de la transmisión (H(Y)-T(X:Y)=Ruido).

Otro punto interesante es el R² del modelo, ya que se mantiene muy estable en todos los rangos, tanto sobre la muestra de desarrollo (TR) como la de prueba (TS)

Los datos usados en este ejemplo fueron obtenidos de

 http://astrostatistics.psu.edu/datasets/SDSS_quasar.html

Se utilizó el 70% de los datos para la muestra de desarrollo y el 30% restante para la de pruebas. La variable z (redshift) fue elegida para predecir. El método de binning fue el de Menor Pérdida de Información (LIL).

Las variables seleccionadas para realizar el modelo fueron r_mag, z_mag y M_i.

La información como marco de referencia (Parte IV)

En el artículo anterior analizamos un modelo de scoring desde una perspectiva infométrica. El modelo canaliza y codifica la información de entrada en una forma que define los mensajes o estados de la salida. Parte de la información de entrada se pierde por equivocación y parte se transmite como ruido. Pero ¿cómo seleccionamos las variables que transmitan la mayor información con el menor ruido posible?

Esta es otra de las ventajas que nos ofrece la capacidad de medir información. Antes de analizar un algoritmo para seleccionar variables me gustaría hacer un comentario respecto de la información. Cuando decimos que una variable transmite información acerca de otra variable, haciendo que se reduzca su incertidumbre, estamos asumiendo implícitamente que existe una relación entre ambas variables. Lo que no estamos asumiendo, y esto es muy importante, es el tipo de relación.

Dicho de otro modo, la relación entre variables puede ser lineal o no. La información mutua entre variables no asume un tipo particular de relación, por lo tanto puede aplicarse a datos cuyas variables se relacionen en forma no lineal. Para más detalles sobre este tema se puede consultar el siguiente artículo: http://powerhousedm.blogspot.com/2008/10/correlacin-e-informacin-mutua.html

Ahora estamos en condiciones de describir el algoritmo de selección de variables. Supongamos que contamos con unas 100 variables que podrían servir para predecir otra variable:

Paso 1: recorremos las 100 variables en busca de aquella que transmita la mayor información posible acerca de la variable a predecir. Esta será la primera variable seleccionada.

Paso 2: recorremos las variables restantes y calculamos la información transmitida por las variables seleccionadas anteriormente más la que estamos evaluando.  El grupo de variables con mayor cantidad de información define la variable a seleccionar.

Paso 3: continuamos con el paso 2 hasta que la información ganada por la nueva variable seleccionada no justifique la pérdida de representatividad.

Este último paso merece una mayor explicación. A medida que se agregan variables, la  información transmitida aumenta pero se necesita una mayor cantidad de casos para cubrir todas las posibilidades. Cuando la cantidad de casos es fija, agregar variables simplemente reduce las posibilidades de que los datos representen la población. Es esta la razón por la cual los modelos que resultan confiables, suelen estar basados en unas pocas variables. Para más detalles se puede consultar el artículo http://powerhousedm.blogspot.com/2007/11/cuntos-datos-necesito-para-obtener-un.html

El algoritmo descripto aquí trabaja muy bien en la práctica ya que tiene las siguientes características:

1.        Aumenta las probabilidades de seleccionar una variable que interactúe con una o más variables seleccionadas previamente. Esto se debe a que dos o más variables que interactúan  agregan más información que tomadas por separado.

2.       Minimiza la posibilidad de seleccionar variables colineales. Esto se debe a que si dos variables están fuertemente relacionadas, una vez que se seleccionó una de ellas, la otra aportará muy poca información nueva.

3.       La cantidad de variables seleccionadas depende exclusivamente de los datos (cantidad y calidad) y se calcula automáticamente en cada ciclo.

Aquellos que deseen probar el algoritmo pueden descargar Powerhouse y seguir paso a paso los tutoriales: http://www.dataxplore.com.ar/descargas.php

La información como marco de referencia (Parte III)

Las variables independientes contienen información. En el ejemplo que estamos analizando llevan en conjunto, 12.16 bits de información (no es necesario conocer cómo calcular este valor pero para aquellos que les interese pueden consultar http://powerhousedm.blogspot.com/2011/09/la-informacion-como-marco-de-referencia.html)

Pero no toda esta información es útil para predecir la variable deseada. De hecho vimos en el artículo anterior que la información útil, la que se transmite, es 0.24 bits.  Entonces, ¿qué sucede con los 11.92 bits restantes? (12.16-0.24=11.92) ¿Dónde fue a parar esta información?

La respuesta tiene que ver con los diferentes patrones de comportamiento que se asocian a un mismo estado o mensaje de salida. Dicho de otro modo, hay varias maneras de decir lo mismo. Esto se denomina técnicamente Equivocación.

Un esquema general de lo visto hasta el momento aclarará este tema

El modelo recibe a través de las variables independientes,  12.16 bits de información.  Parte de esta información se considera Equivocación y parte se Transmite. Ya que se transmiten 0.24 bits, el resto 11.92 bits  se considera Equivocación y nos indica que existen muchos patrones distintos que se asocian con un mismo mensaje de salida.

Siempre se cumple la siguiente ecuación:

Información de Entrada = Información Transmitida + Equivocación

En el ejemplo

12.16 bits = 0.24 bits + 11.92 bits

La información que se necesitaría para predecir sin errores si un cliente se fugará o no, es de 0.39 bits (en los ejemplos anteriores tomamos 0.40). Al canal de transmisión ingresan 0.24 bits provenientes de la entrada más 0.15 bits de Ruido. 

Siempre se cumple la siguiente ecuación:

Información Requerida = Información Transmitida + Ruido

En el ejemplo

0.39 bits = 0.24 bits + 0.15 bits

Para lograr un buen modelo es necesario que las variables seleccionadas contengan la mayor información útil y el menor ruido posible. En el ejemplo, las variables independientes, también llamadas variables de entrada, transmiten 0.24 bits o 61% de la información necesaria para predecir la variable de salida (¿se fuga o no?).  La incertidumbre restante, 0.15 bits o 39% es lo que denominamos Ruido.

En el siguiente artículo veremos que este nuevo enfoque nos permite diseñar un método para seleccionar las variables con mayor información y menor ruido posible.

La información como marco de referencia (Parte II)

En el artículo anterior (http://powerhousedm.blogspot.com/2011/09/la-informacion-como-marco-de-referencia.html) vimos que las variables independientes de un modelo transmiten información que ayuda a reducir la incertidumbre de la variable a predecir.

En el ejemplo anterior, la incertidumbre de lo que hará el cliente es de 0.40 bits pero conociendo su comportamiento (a través de las variables independientes) la reducimos a 0.16 bits. O sea, gracias al modelo tenemos más certeza de lo que hará el cliente. Pero no podemos estar 100% seguros. Todavía hay 0.16 bits de incertidumbre.

¿Por qué no es posible reducir a 0 bits? El culpable es el ruido. Supongamos que identificamos un patrón de comportamiento que se repite 100 veces en los datos. Este patrón no es otra cosa que una determinada combinación de valores de las variables independientes.

Si este patrón siempre estuviera asociado al mismo resultado final (se Fuga SI o No), entonces el ruido sería 0. Pero generalmente esto no sucede. De las veces que aparece el mismo patrón, algunas veces está asociado con Fuga=Si y otras con Fuga=No. Cuanto más similar sea esta distribución con la distribución de la variable a predecir, más ruido contendrán los datos, al menos en este patrón.

El modelo no podrá hacer mucho si los datos contienen demasiado ruido.  Es más, estos 0.16 bits establecen un límite teórico a lo que cualquier herramienta de modelado podrá obtener de estos datos. En este ejemplo los datos contienen un 40% de ruido (0.16/0.40).

En el siguiente artículo analizaremos la información desde el punto de vista de las variables independientes

La información como marco de referencia (Parte I)

La compañía ACME tiene un serio problema: cada mes pierde alrededor de un 8% de sus clientes. Si bien es cierto que también adquiere nuevos clientes, el resultado neto es una pérdida del 3%. A este paso en 9 meses habrá perdido un 25% de sus clientes.

Para mejorar la situación, decide identificar los clientes con altas probabilidades de fuga y tratar de retenerlos.

Veamos cómo se ve esta situación desde el punto de vista de la información

La compañía tiene sus Clientes que se comportan de determinada manera. Este patrón de comportamiento es representado como Mensajes que serán codificados por el Modelo para transmitir uno de dos mensajes: el cliente se va o se queda.

Los mensajes de entrada están formados por las variables que capturan el comportamiento de los clientes. El modelo fue armado para identificar patrones y asociarlos con una de dos respuestas posibles.

Antes de armar el modelo, existe una incertidumbre acerca de si los clientes permanecerán o se irán a la competencia, que puede expresarse en bits. En este ejemplo la incertidumbre es aproximadamente 0.40 bits (los detalles de cómo se mide esta información no son necesarios para el propósito de este artículo, pero pueden consultarse en http://powerhousedm.blogspot.com/2010/05/como-medir-la-informacion-que-lleva-un.html)

Las variables que capturan su comportamiento envían información a través del modelo, con el propósito de reducir la incertidumbre. En este ejemplo, las variables aportan 0.24 bits de información. Entonces gracias al modelo la incertidumbre sobre lo que hará el cliente (permanece o se va), se reduce de 0.40 bits a 0.16 bits (0.40 – 0.24). Si en vez de valores absolutos queremos expresar la reducción de incertidumbre en valores relativos, diríamos que el conjunto de variables con los que se desarrolló el modelo aportan el 60% (0.24 bits) de la información necesaria para predecir si el cliente se fugará o no con un 100% de exactitud (0.40 bits).

También podríamos decir que la incertidumbre de la variable a predecir se reduce a un 40%, una vez que se conocen las variables independientes.

En el siguiente artículo veremos cómo se interpretan estos 0.16 bits de incertidumbre restante.

Powerhouse para descargar

A partir de esta semana se encuentra una licencia de demostración de Powerhouse para bajar libremente en http://www.dataxplore.com.ar/descargas.php

Una vez completados los datos, se recibirá un mail con un link para acceder al instalador. También están disponibles 3 tutoriales y los datos para seguir paso a paso el desarrollo de tres modelos, predicción, scoring y clustering.

La entropía como medida de la información - Parte II

En este artículo contestaré las preguntas planteadas en el anterior.


Cualquier set de datos utilizado en Data Mining puede representarse en un espacio de estados, que no es más que un espacio ordinario pero con tantas dimensiones como variables disponibles. Por ejemplo, supongamos que los datos contienen solamente dos variables. Entonces, cada fila puede representarse como un punto en un espacio dado por las dos variables.

En el gráfico anterior el espacio de estados es de dos dimensiones y se ha representado un sólo estado por medio de un punto dado por las coordenadas 5030 y 130.

La representación de todo el set de datos podría ser algo similar al siguiente gráfico

Si en vez de tener dos variables tuviéramos 3, el gráfico sería en 3 dimensiones, por ejemplo:

Para más de 3 variables es imposible dibujarlo, pero la idea es la misma. Cada fila representa un estado por medio de la combinación de los valores de todas sus variables.

Luego de esta pequeña introducción al espacio de estados, podemos analizar cómo serían las tablas T1 y T2.

En el caso de T1, en donde supuestamente no existe ninguna relación entre las variables, los estados llenarán todo el espacio disponible, por lo tanto podría ser algo similar al siguiente gráfico

En cambio, en el caso de la tabla T2, que se supone que existe algún tipo de relación entre las variables, los estados ya no se dispersan como en el caso de T1 sino que están obligados a mantenerse dentro de alguna forma específica.

El proceso que origina estos datos es el responsable de darle la forma a la nube de puntos.

Ahora podemos responder las preguntas:

¿Qué tabla está más ordenada? T1 tiene desparramado los puntos por todo su espacio, mientras que t2 los tiene confinados en un volumen más pequeño, por lo tanto estarán más ordenados en T2 que en T1. O sea, la relación entre variables genera un orden interno.

Cuánto mayor orden, menor entropía, por lo tanto T1 tendrá mayor entropía que T2

La entropía máxima es la que tiene sus estados dispersos por todo el volumen, o sea cuando las variables no tienen relación entre sí.

En el caso extremo, tendremos una relación perfecta entre las variables y los estados estarán confinados en un volumen muy pequeño. Podemos imaginar el gráfico de la tabla T2 en donde los puntos caen en una línea recta.

La última pregunta es acerca de la información que llevan estas variables. Asumiendo que cada variable lleve algo de información sobre una cuarta variable, ¿qué es preferible? ¿Mayor o menor entropía de las variables independientes?

Acabamos de ver que una menor entropía implica que existe cierta relación entre las variables. Esto significa que parte de la información que trae cada variable es compartida por el resto de las variables (o al menos por una de ellas).

En cambio, si las variables tienen mayor entropía, no existirá relación entre ellas. Por lo tanto toda la información que aporte cada una de las variables será usada plenamente para predecir la cuarta variable.

Los dos últimos párrafos sugieren que un buen data set debería contener variables que estén relacionadas con la variable a predecir, pero no entre sí. De esto se deduce que la entropía de las variables independientes debería ser la mayor posible.

La entropía como medida de la información

En el artículo anterior mostré cómo es posible medir la información que un grupo de variables lleva sobre otra y en el artículo sobre Información, incertidumbre y sorpresa expliqué cómo medir la información de una variable.


En este artículo mostraré cómo la entropía también es útil cuando medimos la información de un conjunto de variables.

Supongamos que tenemos dos tablas con 3 variables numéricas con similar distribución cada una (podemos asumir una distribución uniforme o normal).

Supongamos que la primer tabla, que llamaré T1, tiene las variables sin ningún tipo de relación entre ellas, mientras que la tabla T2 contiene algún tipo de relación entre las variables.

Voy a dejar algunas preguntas para que las responda el que lo desee y en breve publicaré las respuestas.

¿Qué tabla contiene más “orden”? ¿La T1 o la T2?

¿Cuál de las dos tablas tendrán una entropía mayor? ¿por qué?

¿Cómo debería ser el tipo de relación para que la entropía sea mínima o máxima?

Asumiendo que cada una de las tres variables lleva algo de información sobre una cuarta variable, ¿qué tabla es preferible para armar un modelo de predicción?

Quedo a la espera de respuestas y/o comentarios.

Gracias